결합 확률과 조건부 확률

결합확률과 조건부 확률

P(행복, 돈이 많음), P( 행복 | 돈이 많음) 두 확률은 다르다.

왜 다른가?, 샘플 스페이스가 다르기 때문이다. 행복하고 돈이 많은 이벤트에 대한 샘플 스페이스는 인간사 전체이다. 반면 조건부 확률은 샘플 스페이스가 돈이 많음으로 이동된다. 따라서 확률이 달라진다.

그래서.. 돈이 많을때 행복할 확률과 돈이 많으면서 행복할 확률이 달라진다.

Y > X라는 관계를 가지는 식을 생각해보자. 이때, X와 Y는 R^2 공간상에서 관계가 표현된다. 따라서 전체 공간에서 확률 변수의 관계가 표현되기 때문에 결합확률을 이용하여 확률을 구하게 된다.

그림으로 표현하면 다음과 같다. 초록색 영역은 Y > X 에 해당하는 영역이고 초록색과 노란색 영역이 합쳐져서 샘플 스페이스를 이룬다.

반면 Y > X | Y > x 의 경우를 생각해보자. 이때 Y > X 는 Y > x라는 공간상에서 표현된다. 따라서 Y > x라는 공간상에서 확률 변수의 관계가 표현되기 때문에 조건부확률을 이용하여 확률을 구하게 된다.

반면 조건부 확률은 샘플 스페이스가 초록색 영역이 되고 이 초록색 영역에서 Y가 표현된다.

다시 말하면, Y > X 일때, P(Y > X) 는 1/2이 된다. P(Y > X | Y > X)는 1이 된다.